Structuri de reglare automată cu regulatoare PID

 

Turc Traian, Dulău Mircea

Departamentul de Inginerie electrică și Tehnologia informației

 

Structurile de reglare realizate cu regulatoare PID sunt utilizate în peste 90% din aplicațiile industriale.

Totuși, conform unor situații statistice, în practica industrială:

-       multe instalații sunt controlate cu regulatoare care operează în mod manual;

-       multe regulatoare PID nu sunt acordate adecvat sau folosesc setările implicite din fabrică (ceea ce înseamnă că nu au fost deloc acordate).

Regulatorul automat (RA) și partea fixată (PF), care include procesul, traductorul și elementul de execuție, sunt integrate într-o schemă de reglare automată (SRA) cu reacție negativă, conform Fig. 1.

 

Fig. 1. Schema bloc a SRA

 

Variabila de ieșire din proces (y) este măsurată şi convertită într-un semnal (ym), compatibil cu referinţa (r). În elementul de comparaţie (EC), aceste două semnale sunt prelucrate (de regulă) conform unei funcţii de scădere, din care rezultă eroarea de reglare (e). RA generează comanda (), ca efect cumulat a trei modalități de prelucrare a erorii de reglare: proporțională (P), integrală (I) și derivativă (D).

 

Modelul matematic al părții fixate

În foarte multe aplicații, dinamica părții fixate este descrisă de modele matematice exprimate sub forma unor ecuații diferențiale de ordinul I cu timp mort:

,

în care:  este variabila măsurată la ieșirea din proces;  - semnalul de intrare, întîrziat cu valoarea  a timpului mort; K - factorul de amplificare; T - constanta de timp a procesului/părții fixate.

Funcția de transfer rezultată are forma:

.

 

Observaţii: 

-          într-o funcţie de transfer cu timp mort, componenta asociată timpului mort, e-τs, evidenţiază o clasă de sisteme infinit dimensionale, care ridică problema realizabilităţii printr-un sistem finit dimensional;

-          funcţia e-τs trebuie echivalată printr-o funcţie raţională Hτa(s), apelând la aproximări de tip Pade (de exemplu, aproximarea de ordin I, ).

 

Legea de reglare proportional – integral - derivativă (PID)

Regulatoarele PID implementează o serie de variante ale algoritmului PID, rezultate din combinația celor trei moduri de acţiune.

Astfel, algoritmul PID – forma standard este descris de relaţia intrare-ieșire:

.

Funcția de transfer:

,

reprezintă forma standard a regulatorului PID, cu schema de implementare din Fig. 2.

 

Fig. 2. Schema de implementare a regulatorului PID - standard

 

Pentru implementarea în aplicație, se consideră:

-       forma numerică a procesului/părții fixate, obținută prin aproximarea derivatei cu diferența de ordinul unu, de forma:

,

în care Te este perioada de eșantionare;

-       ca urmare, pentru procesul descris printr-un model de ordinul I cu timp mort (în ipoteza aproximării timpului mort cu o funcție de transfer Pade de ordinul I), rezultă:

 

,

 

în care: ; .

 

-       pentru obţinerea algoritmului PID numeric, modulele P, I, D continue din algoritmul PID – standard se aproximează (de exemplu, prin metoda dreptunghiului) într-o vecinătate a momentului discret , astfel:

,

;

 

-       ca urmare, se obține algoritmul PID incremental (sau algoritm de viteză), implementabil:

-        

;

în care:

.

 

Aplicația, cu interfața din Fig. 3, permite analiza comportării SRA în buclă închisă, cu reacție negativă, respectiv a semnalelor de interes: referința (r), comanda (u) și ieșirea (y), în următoarele scenarii de funcționare:

-    modificarea caracteristicilor procesului/părții fixate: K = 1…10; T = 1…15 și = 1…10;

-       modificarea valorii semnalului de referință de tip treaptă: r = 0…500;

-       modificarea valorilor parametrilor de acord ai regulatorului PID – standard:

kp = 0…2,5; Ti = 0…10; Td = 0…1.

 

Fig. 3. Interfața cu utilizatorul

 

Aplicatia e realizata in JavaScript si utilizeaza urmatorul algoritm:

 

A=T*tau/(Te*Te)+(2*T+tau)/Te+2

B=2*T*tau/(Te*Te)+(2*T+tau)/Te

            yk=yk1*B/A-yk2*(T*tau)/(A*Te*Te)+uk*((2*K*Te)-K*tau)/(A*Te)+uk1*(K*tau)/(A*Te)

            yk2=yk1

            yk1=yk

 

in care:

 

Comanda u este generata de SRA prin intermedul unei functii de transfer caracterizata de trei constante: kp,Ti,Td si Te.

Pentru implementarea regulatorului PID se va folosi metoda "Velocity". Conform acesti metode, comanda uk din momentul k depinde de referinta r, de iesirea yk, yk1 si de erk1 (eroarea din momentul k-1).
Intervalul de timp dintre momentul k si momentul k-1 este Te(Timpul de esantionare).
Comanda uk se obtine prin insumarea elementului proportional, integrativ (inte) si derivativ(deriv) astfel:

 

            erk = r - yk;

            inte = inte + erk * Te;

            deriv = (erk - erk1) / Te;

            uk = kp* erk + kp/Ti * inte + kp*Td*deriv ;

            erk1 = erk;

            uk1=uk;

 

in care: