Modele matematice ale sistemelor fizice

Turc Traian, Dulău Mircea

Departamentul de Inginerie electrică și Tehnologia informației

Prin conţinutul lor informaţional, calitativ şi cantitativ, modelele de natură matematică se dovedesc a fi descrieri foarte performante pentru studiile din domeniul ingineriei sistemelor.

Modelarea bazată pe principiile fizicii realizează legături între intrări şi ieşiri, prin intermediul unor relaţii analitice, care includ şi semnalele interne din structura sistemului. Aceste relaţii analitice sunt, de fapt, relaţii din diverse domenii ale fizicii, aplicate adecvat în contextul problemei de modelare.

Ingineria sistemelor automate operează cu câteva tipuri de descrieri matematice, acceptate drept standarde pentru activităţile de analiză şi proiectare, respectiv:

•    modele matematice intrare-ieşire (ecuaţii diferenţiale, funcţii de transfer, caracteristici de frecvenţă);

•    modele matematice intrare-stare-ieşire (ecuaţii de stare, ecuaţii de legătură).

Un sistem de ordinul II este caracterizat printr-o ecuaţie diferenţială de forma:

,

în care:  este semnalul de ieșire;  - semnalul de intrare/referință;

a₂, a₁, a₀ – coeficienți cunoscuți.

Cu notaţiile parametrilor:

 - pulsaţia naturală a sistemului neamortizat;

 - factor de amortizare (zeta);

 - coeficient de amplificare,

se obține forma:

.

În practică, toţi coeficienții care intervin în calculul parametrilor  sunt pozitivi, ceea ce conduce la concluzia că factorul de amortizare .

Astfel, considerînd un semnal de intrare de tip treaptă:

- pentru , răspunsul sistemului defineşte un regim oscilant neamortizat;

- pentru , răspunsul sistemului defineşte un regim oscilant amortizat;

- pentru , răspunsul sistemului defineşte un regim aperiodic (critic) amortizat;

- pentru , răspunsul sistemului defineşte un regim aperiodic supraamortizat (de durată mai lungă decât în cazul ).

Pentru exemplificare se consideră un sistem de reglare în buclă închisă (Fig. 1), în care:

- funcția de transfer pe calea directă are forma: ;

- funcția de transfer în buclă închisă, cu reacție negativă unitară (în ipoteza amplificării K = 1), are forma: .

Fig. 1. Schema în buclă închisă

Pentru implementarea în aplicație, se consideră:

- forma numerică a sistemului, obținută prin aproximarea succesivă a derivatei cu diferența de ordinul unu, de forma:

-

,

în care T_e este perioada de eșantionare;

- ca urmare, pentru sistemul de ordinul II rezultă:

),

în care: .

Aplicația, cu interfața din Fig. 2, permite analiza comportării sistemului, în funcție de parametrii specifici:

- factorul de amortizare (zeta), x, care determină suprareglajul;

- pulsaţia naturală, w_n, care determină viteza de răspuns.

Fig. 2. Interfața cu utilizatorul

Aplicatia e realizata in JavaScript si utilizeaza urmatorul algoritm:

A=1+2*zeta*Wn*Te + (Wn*Te)*(Wn*Te);

            yk=1/A*(((2+2*zeta*Wn*Te)*yk1)-yk2+(Wn*Te)*(Wn*Te)*r);

            yk2 = yk1;

yk1 = yk;

unde:

• zeta este factorul de amortizare = 0...1,5
• Wn este  pulsatia = 1...5
• yk este valoarea calculata pentru iesire din pasul curent k
• yk1 este valoarea lui y in pasul k-1
• yk2 este valoarea lui y in pasul k-2
• r este referinta = 0...500
• Te este timpul de esantionare 50 ms